Как найти наибольший общий делитель двух натуральных чисел

Содержание

• этапы
• Способ 1 Способ # 1
• Метод 2 Способ № 2

Наибольший общий делитель (PGCD) двух целых чисел - это наибольшее целое число, которое делит эти два целых числа одновременно. Например, наибольшее число, которое делит и 20, и 16, равно 4 (16 и 20 имеют отдельно большие делители, но не имеют большого общего делителя, например, 8 - это делитель 16, но это не делитель 20.) В начальной школе большинство учеников изучают метод «угадывания», чтобы найти GCD. С другой стороны, существует простой и строгий способ найти GCD. Метод называется «алгоритм dEuclide». Для наших объяснений мы будем называть два номера, а и б.

этапы

Способ 1 Способ # 1

1. Удалите все негативные признаки. Возьмите два целых числа: 32 и -5.

2. 
   

   
   Несколько словарных предметов для начала! Когда вы делите 32 на 5:
   • • 32 дивиденд
     • 5 делитель
     • 6 является частным
     • 2 - это остальное (или по модулю)

3. 
   

   
   Найдите большее из двух чисел. Это будет дивидендом, а самый маленький будет делителем.

4. 
   

   
   Напишите следующий алгоритм: делимое = делитель х частное + остаток.

5. 
   

   
   
   
   Поместите наибольшее число в качестве дивиденда, а наименьшее в качестве делителя.

6. 
   

   
   Узнайте, сколько раз меньшее число содержится в большем, и запишите его в алгоритме как частное.

7. 
   

   
   Рассчитайте остальное и запишите его в месте, указанном в алгоритме.

8. 
   

   
   Перепишите алгоритм, но на этот раз 1) используйте старый делитель в качестве нового дивиденда и 2) используйте остаток в качестве делителя.

9. 
   

   
   Повторяйте предыдущий шаг, пока остаток не станет равным 0.

10. 
    

    
    
    
    Тогда последний делитель является наибольшим общим делителем (GCD).

11. 
    

    
    Давайте перейдем к практическому упражнению: попробуем найти GCD из 108 и 30:

12. 
    

    
    Обратите внимание, где 30 и 18 находятся на первой строке, чтобы построить вторую строку. Затем, как мы получаем 18 и 12, чтобы написать третью строку, и, наконец, как получить 12 и 6, чтобы создать четвертую строку. 3, 1, 1 и 2, следующие за символом умножения, не используются. Они указывают количество раз, которое делитель содержится в дивиденде, поэтому они уникальны для каждой строки.

Метод 2 Способ № 2

1. 
   

   
   Удалите все негативные признаки.

2. 
   

   
   Произведите простую факторизацию каждого целого числа и запишите их, как показано ниже:
   • Если мы возьмем 24 и 18 в качестве примеров:
     • 24-2 х 2 х 2 х 3
     • 18-2 х 3 х 3
   • Если мы возьмем 50 и 35 в качестве примеров:
     • 50-2 х 5 х 5
     • 35-5 х 7

3. 
   

   
   Определите все основные факторы:
   • Если мы возьмем снова 24 и 18 в качестве примеров:
     • 24- 2 х 2 х 2 х 3
     • 18- 2 х 3 х 3
   • Если мы используем 50 и 35 в качестве примеров:
     • 50-2 х 5 х 5
     • 35- 5 х 7

4. 
   

   
   Умножьте общие факторы.
   • В случае с 24 и 18, умножьте 2 по 3 чтобы получить 6, Шесть (6), следовательно, является наибольшим общим фактором 24 и 18.
   • В случае с 50 и 35 умножать нечего, так как5 это единственный общий фактор, и, следовательно, самый большой.

5. 
   

   
   Вот и все! все кончено!

• Можно использовать другое обозначение: модификация = отдых. GCD (a, b) = b, если mod b = 0; в противном случае PGCD (a, b) = PGCD (b, mod b).
• Этот метод очень полезен, когда речь идет о сокращении дроби. Например, дробь -77/91 может быть упрощена до вида: -11/13, потому что 7 является наибольшим общим делителем 77 и 91.
• Если a или b равны нулю, метод не может работать. Это относится только к ненулевым целым числам. Математики просто говорят, что наибольший общий делитель 0 и 0 равен 0.
• Подводя итог, ищите GCD (-77, 91). Сначала используйте 77, а не -77, поэтому PGCD (-77, 91) становится PGCD (77, 91). Тогда 77 меньше 91, поэтому мы должны обратить их вспять. В любом случае алгоритм быстро покажет вам невозможность вещи.
  Когда мы вычисляем 77 мод 91, мы получаем 77 (с 77 = 91 х 0 + 77). Обратное, это дает нам: PGCD (77, 91) = PGCD (91, 77). 91 мод 77 дает 14 (14 - остальное). У нас нет нуля, поэтому PGCD (91, 77) становится PGCD (77, 14). 77 мод 14 дает 7, который не равен нулю, поэтому PGCD (77, 14) становится PGCD (14, 7). 14 мод 7 является ноль, так как 14 = 7 х 2 не имеет покоя. В конце концов, PGCD (-77, 91) = 7.